winston 发表于 2011-12-25 20:14:16

飞机绕地球环行问题

题目:
已知每架飞机有一个油箱,飞机之间可以相互加油,一整油箱的油可以供一架飞机绕地球飞行半圈。为使至少一架飞机绕地球一圈回到飞机起飞的机场,至少需要使用几架飞机,飞行几个架次?
所有飞机从同一飞机场起飞,而且必须安全返回机场,不允许中途降落,一架飞机起飞一次算作一架次,加油时间可以忽略。




计算法(johnny原创):
设飞机油箱容量为V,绕地球飞行一圈的总行程为L,初始时有三架飞机A/B/C,飞机耗油情况为2V/L (油量/行程)。


设第一段三个飞机共同飞过的路程为s1.则:


C可加给他人的油(考虑到自身返回):

V – 2 * s1 * 2V/L
该值必须大于0,解的s1 < L/4 (即在0度到90度之间)


A/B总耗油:

s1 * 2V/L * 2


当“C可加给他人的油”等于“A/B总耗油量”时, C的油得到了最大程度的利用。即:
V – 2 * S1 * 2V/L = s1 * 2V/L *2
解得:
s1 = L/8
也就是说在s1 = L/8时C返回,同时将A/B两飞机消耗的油量(分别为V/4)补满即可。


【现在C完成了使命,剩下了A和B。】


使用同样的方法:


在两架飞机分别走了L/5之后,假设两架飞机又共同飞行了s2,则:


A耗油:
s2 * 2V / L


B剩油(考虑返回):
V – (L/8 + 2 * s2) * 2V / L
B剩油应该大于0,解得 s2 < 7/16L
当“A耗油”与“B剩油”相等时B返回,B的油得到了最大程度的利用。即
s2 * 2V / L = V – (L/5 + 2 * s2) * 2V / L
解得
s2 = L/8
(相当于AB再共同飞行45度后B返航并将所有的剩油交给A,A油满)。


这样A在已经走了45度,又走了 45度的情况下还能够再走180度,离目标还差90度。
使用同样的方法即能实现飞机A的环球飞行。


共使用三架飞机,五架次。
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